Membuat Soal: Sebuah Latihan Panjang

Tulisan ini menelusuri perkembangan soal-soal olimpiade matematika yang saya buat, mulai dari lomba sekolah hingga bekerja bersama tim soal. Melalui beberapa contoh dari masa yang berbeda, saya ingin melihat kembali bagaimana pengalaman dan masukan orang lain mengubah cara saya menilai soal.

Di sini, setiap contoh saya sertai cerita singkat tentang tahap yang sedang saya jalani. Beberapa contoh juga saya lengkapi dengan motivasi singkat di balik pembuatannya. Intuisi, perubahan kondisi, dan pembahasan yang lebih rinci akan saya uraikan dalam tulisan berikutnya.

Thumbnail yang saya pilih diambil dari anime Blue Period. Ini sedikit mengingatkan saya dahulu yang juga menyukai bidang seni, khususnya menggambar dan melukis. Tapi, akhirnya saya memutuskan untuk memilih fokus di olimpiade matematika sejak SMA, mengingat banyak hal yang harus saya lakukan untuk mengejar mimpi saya. Anyway, kita kembali ke topik yang akan saya bahas.

Awal Mula: Tim Soal saat SMP

Pengalaman pertama saya menjadi pembuat soal dimulai saat SMP, ketika sekolah saya mengadakan olimpiade matematika internal untuk siswa kelas 7 hingga kelas 9. Banyak soal yang saya susun berangkat dari soal yang pernah saya kerjakan, lalu saya adaptasi atau modifikasi. Sebagian mungkin saya buat sendiri, tetapi konsepnya masih sederhana.

Saat itu, saya juga sedang tertarik mempelajari LaTeX dan menggunakannya untuk menyusun naskah soal. Saya mengerjakannya bersama beberapa teman. Ketika melihat kembali soal-soal tersebut sekarang, saya menyadari banyak gagasannya sudah umum dijumpai di buku-buku olimpiade. Naskah soal lomba internal tersebut masih bisa dibaca di sini.

Menjelang akhir kelas 9, sebelum berfokus menghadapi ujian nasional, saya juga ikut menyusun soal untuk lomba olimpiade SD/MI/sederajat tingkat kota/kabupaten yang rutin diadakan sekolah saya. Lomba ini punya arti tersendiri bagi saya. Ketika masih SD, di lomba inilah saya pernah meraih juara 2. Itulah satu-satunya lomba olimpiade tempat saya meraih juara saat SD, sekaligus menjadi titik balik setelah berbagai kegagalan yang saya alami. Beberapa tahun kemudian, saya mendapat kesempatan berkontribusi sebagai pembuat soalnya.

Ketika membaca ulang naskahnya sekarang, beberapa soal terlihat cukup umum bagi peserta yang berpengalaman. Ada pula yang tampak diambil langsung dari buku atau soal OSN. Ini menjadi gambaran kemampuan dan cara kerja saya saat itu. Kedua naskahnya masih dapat dibaca melalui tautan pertama dan tautan kedua.

Pentatic Mathematics Competition

Pada masa pandemi, banyak institusi dan lembaga belajar mengadakan olimpiade daring. Saat itu juga ramai istilah “olimpiade PO Medali” wkwk. Meski begitu, ada pula lomba gratis dengan soal-soal yang berkualitas. Saya pun tertarik mencoba mengadakan kompetisi sendiri.

Kompetisi itu saya beri nama Pentatic Mathematics Competition. Soalnya ditujukan untuk jenjang SMP/MTs/sederajat, tetapi siapa pun boleh mengikuti. Lomba ini gratis dan pembahasannya saya bagikan kepada peserta. Saya mengadakannya sampai 10 seri; khusus seri terakhir, saya menambahkan hadiah kecil-kecilan dan babak final. Soal dan pembahasannya dapat dilihat di sini.

Pada dua seri pertama, formatnya masih kurang lebih sama. Setelah mendapat masukan tentang ketimpangan komposisi ACGN (aljabar, kombinatorika, geometri, dan teori bilangan), saya mulai memperbaikinya. Sejak seri ketiga, saya mencoba mengikuti format OSK SMA saat itu: 10 soal kemampuan dasar dan 10 soal kemampuan lanjut. Saya juga berusaha mengurutkan soal dari mudah ke sulit.

Sebagian soal masih mengadaptasi soal lain, tetapi saya mulai lebih serius berusaha menghasilkan soal orisinal. Prosesnya cukup menyita waktu dan tenaga, tetapi saya senang mengerjakannya.

Pada seri ketiga, saya juga iseng meminta masukan kepada Tobi Moektijono. Komentar beliau sebagai berikut:

“Overall oke, tapi banyak sudah sering lihat ya soalnya. Beberapa cuma seperti nguli dan menghitung, soal tipe ini kalau bisa dikurangin. Variasinya bagus.”

Komentar tentang “nguli dan menghitung” terasa tepat. Saat itu, saya memang sering mencoba mempersulit soal dengan memperberat perhitungannya. Dari masukan tersebut, saya mulai belajar membedakan kesulitan karena ide dan kesulitan karena panjangnya hitungan.

Perlahan, saya semakin terbiasa mencoba membuat soal sendiri dan menyiapkan soal yang lebih menantang untuk babak final. Sepuluh seri Pentatic menjadi tempat saya berlatih menyusun satu paket soal dan menerima masukan.

Berikut salah satu soal yang saya tempatkan sebagai soal tersulit pada babak final seri terakhir Pentatic.

Belajar Bersama Tim Soal

DeuX Math: Belajar Merevisi Soal

Ketika SMA, seingat saya sekitar kelas 11, saya pernah terlibat di DeuX Math. Saat ini, komunitas tersebut sudah tidak aktif. Sebagian besar kontribusi saya berupa penyuntingan LaTeX untuk postingan mereka, tetapi sesekali saya juga mengajukan soal simulasi OSK. Biasanya saya mengusulkan soal mudah, lalu menerima masukan untuk mengembangkannya. Berikut salah satu contohnya.

Perubahan kecil pada bentuk pertanyaan dapat mengubah hal yang perlu diperhatikan peserta. Saat mencoba membuat soal yang lebih sulit, saya masih sering mengandalkan perhitungan panjang setelah satu gagasan utama ditemukan. Melihat soal teman-teman yang lain membuka lebih banyak contoh tentang gagasan dan keunikan yang masih ingin saya pelajari.

MaQC: Belajar Menguji Soal Bersama

Pada 2021, seorang teman saya, Haidar, mengajak saya bergabung dengan tim soal untuk SMANU MH Thamrin. Di sini, saya berkolaborasi dengan teman-teman olimpiade dari berbagai sekolah. Kami terlibat secara sukarela karena memang tertarik membuat soal.

Saya banyak bertukar pikiran, terutama dengan Kenji Gunawan. Kami saling mencoba soal yang diajukan untuk membantu menilai tingkat kesulitannya. Dari sini, saya mulai memahami pentingnya test solve: penilaian penulis perlu dibandingkan dengan pengalaman orang yang mengerjakan soalnya tanpa mengetahui solusi terlebih dahulu.

Untuk soal uraian, hasil pengujian juga membantu menyiapkan skema penilaian yang dapat mengakomodasi berbagai cara penyelesaian. Pada 2022, karena kesibukan lain, kontribusi saya lebih banyak berupa mencoba soal-soal yang dibuat anggota tim lainnya.

KTOM: Dari Seleksi hingga Quality Control

Pada pertengahan 2021, saya juga mendaftar sebagai anggota tim soal Kontes Terbuka Olimpiade Matematika (KTOM). Sayangnya, berkas seleksi yang saya kirimkan sudah tidak saya simpan. Saat itu, saya masih banyak mengubah sifat-sifat yang umum dikenal menjadi soal.

Dua soal geometri yang saya ajukan berangkat dari sifat pencerminan titik tinggi dan Cevian Nest. Pada contoh Cevian Nest, salah seorang teman langsung mengenali sifat yang saya gunakan 🥲. Saya mulai menyadari bahwa sesuatu yang menarik bagi saya sebagai penulis bisa saja sudah cukup dikenal oleh peserta lain. Saya perlu mempertimbangkan juga bagaimana gagasan itu terlihat dari sudut pandang orang yang mengerjakan soal.

Contoh soal seleksi KTOM.

Diberikan \(AA_1\), \(BB_1\), dan \(CC_1\) merupakan garis tinggi dari suatu segitiga lancip \(ABC\). Misalkan \(O\) pusat lingkaran luar dari segitiga \(ABC\). Titik \(A_2\) terletak pada \(B_1C_1\) sedemikian sehingga \(OA_2\) tegak lurus terhadap \(B_1C_1\), lalu titik \(B_2\) dan \(C_2\) didefinisikan dengan cara yang serupa. Buktikan bahwa \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), dan \(C_1C_2\) berpotongan di satu titik.

Pada 2023, saya mulai ikut membantu bagian quality control (QC) di KTOM. Keterlibatan ini saya lakukan sebagai tambahan kontribusi. Saya kembali melihat pentingnya membandingkan berbagai pendapat dalam menilai soal. Tidak jarang, pembahasan bersama menghasilkan pengembangan yang lebih menarik dari usulan awal. Bersamaan dengan proses tersebut, kemampuan saya dalam membuat soal juga berkembang.

Simulasi OSP: Mulai Mengembangkan Gagasan

Jika menengok kembali simulasi OSP yang saya susun pada 2022, saya mulai melihat perbedaan dengan soal-soal awal saya. Saat itu, saya sudah tidak lagi mengikuti OSN sebagai peserta, sementara adik-adik kelas saya masih akan berkompetisi. Saya tetap terlibat dengan menyiapkan soal-soal simulasi. Beberapa contohnya juga menunjukkan bagaimana bacaan dan pengalaman mengerjakan soal memengaruhi karya saya saat itu.

Pada simulasi pertama, saya mencoba menyusun soal dengan bentuk pertanyaan yang lebih beragam. Salah satunya adalah soal geometri berikut, yang berangkat dari salah satu latihan dalam EGMO karya Evan Chen, Bab 1.

Adanya garis bagi dan informasi panjang memang dapat mengarahkan peserta pada teorema rasio garis bagi. Namun, motivasi awal saya datang dari sebuah sifat pada latihan berikut: garis yang menghubungkan titik di luar persegi dengan pusat persegi ternyata membagi dua sudut siku-sikunya. Saya mencoba mengembangkannya menjadi pertanyaan tentang panjang.

Latihan acuan (EGMO, Bab 1).

Diberikan persegi \(ABCD\) dan titik \(E\) di luarnya sehingga \(\angle DEC=90^\circ\). Jika \(O\) adalah pusat persegi \(ABCD\), buktikan bahwa \(EO\) membagi dua \(\angle DEC\).

Meskipun berangkat dari latihan tersebut, saya tidak bisa menganggap peserta akan langsung mengenalinya. Saya pun mencoba mengerjakan soal yang saya buat dengan rasio garis bagi dan kesebangunan, seolah-olah belum mengetahui sifat acuannya. Saya perlu menguji jalur penyelesaian yang mungkin ditempuh peserta dan menilai kesulitannya dari sudut pandang mereka.

Untuk teori bilangan pada paket yang sama, saya ingin memakai Teorema Legendre atau formula de Polignac. Bentuk yang sering saya jumpai adalah mencari pangkat terbesar dari suatu bilangan prima yang membagi sebuah faktorial, misalnya pangkat terbesar dari \(2\) yang membagi \(100!\). Bagi peserta yang sudah menguasai dasarnya, pertanyaan seperti ini bisa selesai dengan menerapkan rumus. Saya ingin menambahkan satu pengamatan lagi, sehingga saya mengganti satu faktorial dengan penjumlahan beberapa faktorial.

Di sini, mengambil \(199!\) sebagai faktor persekutuan belum menyelesaikan persoalan. Jika jumlah tersebut ditulis sebagai \(199!\cdot T\), peserta masih perlu memeriksa faktor \(3\) yang mungkin berasal dari \(T\). Ternyata \(T\) juga habis dibagi \(3\), sehingga memakai Legendre hanya pada \(199!\) akan melewatkan bagian penting. Menentukan seberapa besar pangkat \(3\) yang membagi \(T\) menjadi tantangan tambahannya.

Pada simulasi ketiga, saya ingin menyiapkan soal geometri isian singkat yang lebih menantang. Salah satu latar belakangnya kembali datang dari bacaan EGMO, kali ini sebuah sifat yang melibatkan pusat lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar.

Soal (Try Out ke-3 OSP M2KM 2022).

Diberikan segitiga \(ABC\) dan titik \(D\) pada sisi \(BC\) sehingga \(AD\perp BC\). Misalkan \(I_B\) dan \(I_C\) berturut-turut merupakan pusat lingkaran dalam segitiga \(ABD\) dan \(ACD\), sedangkan \(M\) adalah titik tengah \(AD\). Garis \(MI_B\) dan \(MI_C\) memotong \(BC\) berturut-turut di \(B'\) dan \(C'\). Jika keliling segitiga \(ABC\) adalah \(42\) dan \(AD=12\), tentukan panjang \(B'C'\).

Motivasi awal saya adalah sifat tentang pusat lingkaran dalam dan titik singgung lingkaran singgung luar berikut, yang dibahas dalam EGMO, Bab 4.

Lema acuan (EGMO, Bab 4).

Diberikan segitiga \(ABC\) dengan pusat lingkaran dalam \(I\). Misalkan \(D\) adalah kaki garis tinggi dari \(A\) pada garis \(BC\), dan \(M\) titik tengah \(AD\). Jika \(A'\) adalah titik singgung lingkaran singgung luar di hadapan \(A\) dengan \(BC\), maka \(M,I,A'\) segaris.

Dari sifat ini, saya mencoba kasus khusus ketika sudut \(B\) siku-siku. Kaki garis tinggi dari \(A\) lalu berhimpit dengan \(B\), sehingga konfigurasinya menjadi lebih sederhana. Lalu saya membalik cara memandangnya: garis tinggi \(AD\) pada segitiga \(ABC\) justru menghasilkan dua segitiga siku-siku, \(ABD\) dan \(ACD\). Saya menerapkan sifat yang sama pada masing-masing segitiga, sehingga sifat acuannya tidak terlalu mudah dikenali dalam soal akhir.

Setelah konfigurasinya terbentuk, saya perlu memilih informasi panjang yang diberikan. Jika semua sisi saya cantumkan, saya khawatir soalnya lebih banyak menuntut perhitungan. Karena itu, saya memisalkan dahulu panjang-panjang sisinya, lalu menyederhanakan hubungan yang muncul. Ternyata panjang yang ditanyakan dapat dinyatakan melalui keliling segitiga \(ABC\) dan panjang \(AD\) saja. Itulah alasan saya memilih dua informasi tersebut.

Ketiga contoh ini menjadi gambaran singkat bagaimana saya mengembangkan soal saat itu: memulai dari fakta yang sudah dikenal, mengubah bentuk pertanyaannya, lalu mencoba mengerjakannya sendiri. Lebih banyak contoh beserta intuisi dan proses pengembangannya akan saya bahas dalam tulisan berikutnya.

Soal-Soal Berikutnya: PEMNAS 2024–2025

Pada tahun-tahun berikutnya, saya juga menulis soal untuk PEMNAS. Dua contoh berikut menjadi bagian dari perjalanan tersebut. Yang pertama saya buat untuk jenjang SMP pada 2024.

Setahun kemudian, saya membuat soal berikut untuk semifinal jenjang SMA.

Pada soal terakhir, saya sempat mencoba kasus-kasus kecil dengan bantuan Python, lalu meninggalkannya selama beberapa hari sebelum kembali mengerjakannya. Pengalaman ini juga menjadi pengingat bahwa sampai pada sebuah pernyataan soal belum tentu berarti seluruh prosesnya selesai. Intuisi dan pengembangan masing-masing contoh akan saya lanjutkan dalam tulisan berikutnya.

Mewujudkan Seni dengan Soal

Hingga sekarang, menulis soal yang saya anggap orisinal dan menarik masih membutuhkan waktu. Dalam geometri, saya bisa menghabiskan 3-4 jam bereksplorasi dengan GeoGebra untuk menemukan sebuah soal. Menemukan suatu fakta pun baru menjadi awal: saya masih perlu melihat apakah fakta itu dapat dikembangkan dan bagaimana membuktikannya.

Saya bahkan pernah membutuhkan sekitar empat jam untuk menyelesaikan soal yang saya buat sendiri. Pada akhirnya, saya juga mendapat pengalaman mengerjakan soal yang baru bagi saya. Proses menemukan soal dan proses menyelesaikannya bisa sama-sama menantang.

Apakah saya pernah jenuh? Tentu saja. Kalau setiap hari dihabiskan untuk membuat soal, terlebih ketika mengejar tenggat lomba, saya bisa merasa lelah. Pengalaman mengelola pekerjaan semacam ini akan saya ceritakan dalam tulisan lain. Namun, pada waktu senggang, saya masih sering tertarik menulis soal dan menyimpannya sebagai arsip untuk digunakan kemudian.

Kalau saya melihat kembali perjalanan ini, perubahan yang paling terasa ada pada cara saya menilai sebuah soal. Dulu, saya sering berfokus pada cara membuat soal menjadi lebih sulit. Perlahan, saya mulai memperhatikan apa yang menarik dari soal itu, seberapa jelas idenya, dan apakah tingkat kesulitannya sesuai dengan peserta.

Masukan orang lain punya peran besar dalam proses tersebut. Dari komentar tentang perhitungan, pengalaman saling mencoba soal, hingga sifat yang langsung dikenali teman, saya belajar bahwa penilaian saya sendiri masih perlu diuji. Membuat soal menjadi proses yang terus berlanjut melalui percobaan, pengujian, dan revisi.

Salah satu sosok di AoPS yang sering membuat soal menarik adalah djmathman/David Altizio. Saat sedang menulis cerita ini, saya baru membaca On Problem Writing (Part I) di blog daltizio. Banyak bagiannya terasa dekat dengan pengalaman saya, terutama cerita tentang soal-soal awal yang dibuat sulit dengan memperberat perhitungannya. Untuk pembaca yang tertarik menulis soal, saya merekomendasikan tulisan tersebut. Ada pula kelanjutannya, On Problem Writing (Part 2), yang membahas pencarian dan pengembangan ide.

Pada tulisan berikutnya, saya akan membahas pertimbangan umum dalam menyusun soal dan bekerja bersama tim, dengan berbagai studi kasus dari pengalaman saya di PEMNAS maupun kompetisi lain. Mungkin, ada hal khusus yang ingin saya jawab dalam tulisan berikutnya dapat dituliskan di kolom komentar.